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在发展不断提速的社会中,我们需要很强的课堂教学能力,反思指回头、反过来思考的意思。反思要怎么写呢?以下是小编精心整理的集合教学反思,仅供参考,大家一起来看看吧。此外,您还可以浏览范文大全栏目的出口合同范本

高中数学集合的教案及反思 篇1

对于许多学生来说,学习数学的目标仅仅是应对考试,其实不然,学习数学的一个更重要的目的是要学会数学的思考,用数学的眼光去看世界,去了解世界。而对于我们数学教师而言,我们还要从教的角度去看待数学,去发现数学,不仅要自己能做、能理解,更重要的是要能够教会学生去做、去理解,因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、辨证的等方面去发展。比如:

从逻辑的角度看

函数概念主要包含定义域、值域、对应关系三个要素,以及函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质和一些具体的特殊函数,如指数函数、对数函数、幂函数等这些内容是函数教学的基础,但不是函数的全部。

从关系的角度来看

不仅函数的主要内容之间存在着种种实质性的联系,比如定义域和对应关系确定了值域,函数与其他数学内容之间也存在着密切的联系。

方程的根可以作为这个方程对应函数的图象与坐标轴交点的横坐标;不等式的解就是这个不等式对应函数的图象在轴上方或者下方的那一部分所对应的横坐标的集合;数列也就是定义在自然数集合上的函数;同样的几何部分也与函数有着密切的联系。

在新课程背景下的数学课堂教学中,要提高教学质量,提高学生的学习效率,我们应该多思考,多准备,充分做到备教材、备学生、备教法,提高自身的教学机智,发挥自身的主导作用。不仅要求学生学会,而且要让学生会学,特别是自学,尤其是在课堂上,不仅要发展学生的智力因素,而且要在有限的'时间内,出色的完成教学任务,不能穿新鞋走老路。

教师在教学生时不能把他们看作是空的容器,按照自己的意愿往这些空的容器里灌输数学知识就完了,这样往往会进入误区,因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面都存在着非常大的差异,这些差异会使得他们对同一个教学活动的感觉常常是不一样的。在教学中,为了更好的教会学生学习,一个比较有效的方式就是在教学的过程中尽量把学生头脑中问题挤出来,让他们把解决问题的思维过程显露出来。

在数学教学方法上,要有明确的教学目标,要能突出重点、化解难点,要善于应用现代化教学手段,要根据具体的教学内容选择恰当的教学方法,对学生及时鼓励、关爱学生,充分调动学生的积极性,发挥学生学习的主体作用,重视基础知识、基本技能和基本方法,渗透教学思想方法,培养学生的综合运用能力。

高中数学集合的教案及反思 篇2

在复习课中,教师要充分调动学生学习的自主性,让学生独立制定出适合自己的知识结构、整理出自己在本章学习中出现的问题.在课堂上,学生通过交流与合作,体会解决问题成功的喜悦.从而养成良好的学习习惯、树立信心.感受知识的横向联系与纵向联系,洞悉知识的本质、问题的根源,从而形成深刻的印象,少出现或避免出现类似的问题.通过分析知识的来龙去脉,明确知识的用途.通过典型题分析,回顾主干知识,重要的数学思想,感受知识与数学思想的有机融合.

高中数学集合的教案及反思 篇3

本节课是数学必修一第一单元第一课时,是高一新生进入高中学习数学的起始课。集合语言是现代数学的基本语言,课标指出,要使学生“使用集合语言可以简洁、准确地表达数学的一些内容。”高中数学课程只将集合作为一种语言来学习,所以对学生的要求是“学会使用最基本的集合语言表示有关数学对象,发展运用数学语言进行交流的能力”。

从学生的认知水平来看,集合语言作为一种符号语言,其表述方式对学生而言是比较陌生的,也比较抽象,学生理解也有些困难。因此,,课本从生活实际出发,通过对我国湖泊分类,让学生初步感受集合的概念,再从学生熟悉的集合(自然数集合、有理数集合)出发,进一步理解集合的含义,符合学生的认知规律。

本节课内容比较抽象,难度不大。结合课标的要求和学生的实际情况,在教学中我关注到以下几点:

1、关注学生学习习惯和学习方法的引导,做好初高中衔接。

学生刚从初中升入高中,还处于从具体形象思维上式到抽象逻辑思维的初级阶段,抽象思维能力比较弱,还没有形成逻辑思维的习惯。初中阶段学生的学习都是在老师的引导下进行启发式学习,对学生的自学能力要求不高。而高中内容多,进行进度加快、课堂密度大,知识信息广泛,题目难度加大,只靠教师讲、学生听已很难使学生掌握所学知识,这就要求学生勤于思考,善于总结规律,掌握数学思想方法,对学生的自学能力有较高的要求。因此,在教学中,我以学生已有的数学知识为基础,注重培养学生良好的学习习惯,通过指导学生阅读课本,引导学生对以往所学的数学内容用集合的形式来梳理,潜移默化地进行了初高中知识的衔接。比如通过阅读课本湖泊的实例,提出问题“这些实例有什么共同特征?”让学生学会提出问题,养成独立思考的习惯,学会归纳总结。并对于已经学习的自然数、证书、有理数等知识用集合的语言表述。实现初高中的平稳过渡。

2、帮助学生养成数学阅读的习惯。

本节课新概念、新符号较多,教学时,我先引导学生阅读课本,然后提出问题,在进行交流,让学生在阅读与交流中理解概念并熟悉新符号的使用。

3、突出重点内容,循序渐进的学习集合。

本节课的重点是集合的基本概念与表示方法。教学时,避免加深难度。不要讨论集合论。例如,集合的确定性、互异性、无序性只需要通过具体例子说明,不需要让学生讨论。

高中数学集合的教案及反思 篇4

教学目标:

(1)了解坐标法和解析几何的意义,了解解析几何的基本问题。

(2)进一步理解曲线的方程和方程的曲线。

(3)初步掌握求曲线方程的方法。

(4)通过本节内容的教学,培养学生分析问题和转化的能力。

教学重点、难点:

求曲线的方程。

教学用具:

计算机。

教学方法:

启发引导法,讨论法。

教学过程:

【引入】

1、提问:什么是曲线的方程和方程的曲线。

学生思考并回答。教师强调。

2、坐标法和解析几何的意义、基本问题。

对于一个几何问题,在建立坐标系的基础上,用坐标表示点;用方程表示曲线,通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质,这一研究几何问题的方法称为坐标法,这门科学称为解析几何。解析几何的两大基本问题就是:

(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程。

(2)通过方程,研究平面曲线的性质。

事实上,在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题。而且要先研究如何求出曲线方程,再研究如何用方程研究曲线。本节课就初步研究曲线方程的求法。

【问题】

如何根据已知条件,求出曲线的方程。

【实例分析】

例1:设、两点的坐标是、(3,7),求线段的垂直平分线的方程。

首先由学生分析:根据直线方程的知识,运用点斜式即可解决。

解法一:易求线段的中点坐标为(1,3),

由斜率关系可求得l的斜率为

于是有

即l的方程为

分析、引导:上述问题是我们早就学过的,用点斜式就可解决。可是,你们是否想过①恰好就是所求的吗?或者说①就是直线的方程?根据是什么,有证明吗?

(通过教师引导,是学生意识到这是以前没有解决的问题,应该证明,证明的依据就是定义中的两条)。

证明:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解。

设是线段的垂直平分线上任意一点,则

将上式两边平方,整理得

这说明点的坐标是方程的解。

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

设点的坐标是方程①的任意一解,则

到、的距离分别为

所以,即点在直线上。

综合(1)、(2),①是所求直线的方程。

至此,证明完毕。回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象:在证明(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解中,设是线段的垂直平分线上任意一点,最后得到式子,如果去掉脚标,这不就是所求方程吗?可见,这个证明过程就表明一种求解过程,下面试试看:

解法二:设是线段的垂直平分线上任意一点,也就是点属于集合

由两点间的距离公式,点所适合的条件可表示为

将上式两边平方,整理得

果然成功,当然也不要忘了证明,即验证两条是否都满足。显然,求解过程就说明第一条是正确的(从这一点看,解法二也比解法一优越一些);至于第二条上边已证。

这样我们就有两种求解方程的方法,而且解法二不借助直线方程的理论,又非常自然,还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想。因此是个好方法。

让我们用这个方法试解如下问题:

例2:点与两条互相垂直的直线的距离的积是常数求点的轨迹方程。

分析:这是一个纯粹的几何问题,连坐标系都没有。所以首先要建立坐标系,显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴,建立直角坐标系。然后仿照例1中的解法进行求解。

求解过程略。

【概括总结】通过学生讨论,师生共同总结:

分析上面两个例题的求解过程,我们总结一下求解曲线方程的大体步骤:

首先应有坐标系;其次设曲线上任意一点;然后写出表示曲线的点集;再代入坐标;最后整理出方程,并证明或修正。说得更准确一点就是:

(1)建立适当的坐标系,用有序实数对例如表示曲线上任意一点的坐标;

(2)写出适合条件的点的集合

(3)用坐标表示条件,列出方程;

(4)化方程为最简形式;

(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

一般情况下,求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解;如果求解过程中的转化都是等价的,那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点。所以,通常情况下证明可省略,不过特殊情况要说明。

上述五个步骤可简记为:建系设点;写出集合;列方程;化简;修正。

下面再看一个问题:

例3:已知一条曲线在轴的上方,它上面的每一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程。

【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状,在运动变化的过程中寻找关系。

解:设点是曲线上任意一点,轴,垂足是(如图2),那么点属于集合

由距离公式,点适合的条件可表示为

将①式移项后再两边平方,得

化简得

由题意,曲线在轴的上方,所以,虽然原点的坐标(0,0)是这个方程的解,但不属于已知曲线,所以曲线的方程应为,它是关于轴对称的抛物线,但不包括抛物线的顶点,如图2中所示。

【练习巩固】

题目:在正三角形内有一动点,已知到三个顶点的距离分别为、、,且有,求点轨迹方程。

分析、略解:首先应建立坐标系,以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴,这条边的垂直平分线为另一个轴,建立直角坐标系比较简单,如图3所示。设、的坐标为、,则的坐标为,的坐标为。

根据条件,代入坐标可得

化简得

由于题目中要求点在三角形内,所以,在结合①式可进一步求出、的范围,最后曲线方程可表示为

【小结】师生共同总结:

(1)解析几何研究研究问题的方法是什么?

(2)如何求曲线的方程?

(3)请对求解曲线方程的五个步骤进行评价。各步骤的作用,哪步重要,哪步应注意什么?

【作业】课本第72页练习1,2,3;

高中数学集合的教案及反思 篇5

当科组长把上一节精品课程课的任务交给我时,我心里是很没底的,作为一个新老师,对于平常上公开课都没十足的把握,更何况是采用一种我从来没尝试过的教学模式——“学生讲课”。但是为了完成任务,同时也是锻炼自己,我还是接受了。尽管由于准备的时间短,来不及充分的时间给学生适应这中模式,加之小老师的素质差异,在上课过程中出现了紧张的情况,因而课后的结果并不能让我满意,但是我还是从中收获了很多。

散文《散步》是一篇不可多得的当代千字美文,在看似寻常的一次家庭散步中,涉及了中年人在生命延续过程中的承前启后的作用,涉及了尊老爱幼这一亘古常新的伦理问题,还有如何享受家庭亲情等。七年级的学生正处于发展独立思维的重要阶段,他们的主动性和求知欲都已大大提高,不再喜欢被动地接受知识,已初步具有自主、合作、探究学习的能力。但同时缺乏良好的观察生活的品质,对生活缺少体验,对散文知识的了解更少,而且由于受社会上许多不良因素影响和家庭的误导,许多学生没有形成正确的家庭道德伦理准则。因此如何在“学生讲课”的模式下,让初一的学生在学习本文时明白中年人所处的重要的地位,体会课文浓浓的亲情,并从中感悟出正确的家庭伦理道德准则,是摆在我面前的一个大难题。

为此下来我仔细的阅读了文本,查阅了很多相关的资料,对文章内涵的把握基本上没有了问题,但是如何通过小老师的嘴让学生逐渐理解更深层次的内容又是一个大大的难题,为此,我先和几个小老师在宽松的环境下进行了平等的合作和探究。当时的效果还不错,在我的引导下,他们都对本文有了深层次的理解。其中有个小老师说“以前还认为当老师很容易,现在真正要让自己当老师时才发现有这么多东西要准备”,这也算是一个意外的收获吧,只是这次小老师的人数稍显少了一点,以后可以尝试分组,让每一组的同学准备轮流讲课,这样对于激发他们的学习积极性,以及对语文这门科目的整体了解会有很大的帮助。

然而我忽略了一点,即小老师的表达能力,虽然我挑的这几位都是语文成绩不错的,对文章有比较深刻理解的学生,但是毕竟要让他们把他们所理解的东西通过一个一个问题有条理地去引导学生,这方面还是欠缺很多。另外,对于同学们的回答,小老师都没有很好的评价和引导,只是匆匆表扬而过,这也是一个问题,留待以后解决。

这次课后,我总在想,以前我像一个“救世主”,给学生知识,给学生力量,给学生关爱,引导他们去树立正确的人生观和价值观,在学生面前我永远是正义的、强大的、乐观而豁达的,我因学生的崇拜和尊敬而满足。但我也深感失落和孤独,因为这份骄傲是不真实的。现在,我和我的学生一起备课,一起想办法,一起渡难关,真正去关注语文和生活的关系。虽然有时我也很“无知”,难免脸红尴尬,但我却倍感真实而轻松,因为我在重新思考生命的意义,觉得生活是多么美好,生命是多么可贵。我感谢新课程,感谢《散步》,感谢学生,感谢一切因爱而变得快乐而美好的事物。

高中数学集合的教案及反思 篇6

三维目标:

1、知识与技能:正确理解随机抽样的概念,掌握抽签法、随机数表法的一般步骤;

2、过程与方法:

(1)能够从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题;

(2)在解决统计问题的过程中,学会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本。

3、情感态度与价值观:通过对现实生活和其他学科中统计问题的提出,体会数学知识与现实世界及各学科知识之间的联系,认识数学的重要性。

4、重点与难点:正确理解简单随机抽样的概念,掌握抽签法及随机数法的步骤,并能灵活应用相关知识从总体中抽取样本。

教学方法:

讲练结合法

教学用具:

多媒体

课时安排:

1课时

教学过程:

一、问题情境

假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验,你准备怎样做?显然,你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本。(为什么?)那么,应当怎样获取样本呢?

二、探究新知

1、统计的有关概念:总体:在统计学中,所有考察对象的全体叫做总体、个体:每一个考察的对象叫做个体、样本:从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本、样本容量:样本中个体的数目叫做样本的容量、统计的基本思想:用样本去估计总体、

2、简单随机抽样的概念一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样,这样抽取的样本,叫做简单随机样本。

下列抽样的方式是否属于简单随机抽样?为什么?

(1)从无限多个个体中抽取50个个体作为样本。

(2)箱子里共有100个零件,从中选出10个零件进行质量检验,在抽样操作中,从中任意取出一个零件进行质量检验后,再把它放回箱子。

(3)从8台电脑中,不放回地随机抽取2台进行质量检查(假设8台电脑已编好号,对编号随机抽取)

3、常用的简单随机抽样方法有:

(1)抽签法的定义。一般地,抽签法就是把总体中的N个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后,每次从中抽取一个号签,连续抽取n次,就得到一个容量为n的样本。

思考?你认为抽签法有什么优点和缺点:当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗?例1、若已知高一(6)班总共有57人,现要抽取8位同学出来做游戏,请设计一个抽取的方法,要使得每位同学被抽到的机会相等。

分析:可以把57位同学的学号分别写在大小,质地都相同的纸片上,折叠或揉成小球,把纸片集中在一起并充分搅拌后,在从中个抽出8张纸片,再选出纸片上的学号对应的同学即可、基本步骤:第一步:将总体的所有N个个体从1至N编号;第二步:准备N个号签分别标上这些编号,将号签放在容器中搅拌均匀后每次抽取一个号签,不放回地连续取n次;第三步:将取出的n个号签上的号码所对应的n个个体作为样本。

(2)随机数法的定义:利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样,叫随机数表法,这里仅介绍随机数表法。怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明,假设我们要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标,现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验,利用随机数表抽取样本时,可以按照下面的步骤进行。第一步,先将800袋牛奶编号,可以编为000,001,799。

第二步,在随机数表中任选一个数,例如选出第8行第7列的数7(为了便于说明,下面摘取了附表1的第6行至第10行)。 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步,从选定的数7开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等),得到一个三位数785,由于785

继续向右读,得到916,由于916>799,将它去掉,按照这种方法继续向右读,又取出567,199,507,依次下去,直到样本的60个号码全部取出,这样我们就得到一个容量为60的样本。

三、课堂练习

四、课堂小结

1、简单随机抽样的概念一般地,设一个总体的个体数为N,如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单随机抽样。

2、简单随机抽样的方法:抽签法随机数表法

五、课后作业

P57练习1、2

六、板书设计

1、统计的有关概念

2、简单随机抽样的概念

3、常用的简单随机抽样方法有:(1)抽签法(2)随机数表法

4、课堂练习

高中数学集合的教案及反思 篇7

整体设计

教学分析

我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质。从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n次方根的定义,从而把指数推广到分数指数。进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。

教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景,先给出两个具体例子:GDP的增长问题和碳14的衰减问题。前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学生感受到其中的函数模型,并且还有思想教育价值。后一个问题让学生体会其中的函数模型的同时,激发学生探究分数指数幂、无理数指数幂的兴趣与欲望,为新知识的学习作了铺垫。

本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值。

根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持。

三维目标

1、通过与初中所学的知识进行类比,理解分数指数幂的概念,进而学习指数幂的性质。掌握分数指数幂和根式之间的互化,掌握分数指数幂的运算性质。培养学生观察分析、抽象类比的能力。

2、掌握根式与分数指数幂的互化,渗透“转化”的数学思想。通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯,让学生了解数学来自生活,数学又服务于生活的哲理。

3、能熟练地运用有理指数幂运算性质进行化简、求值,培养学生严谨的思维和科学正确的计算能力。

4、通过训练及点评,让学生更能熟练掌握指数幂的运算性质。展示函数图象,让学生通过观察,进而研究指数函数的性质,让学生体验数学的简洁美和统一美。

重点难点

教学重点

(1)分数指数幂和根式概念的理解。

(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质。

(3)运用有理指数幂的性质进行化简、求值。

教学难点

(1)分数指数幂及根式概念的理解。

(2)有理指数幂性质的灵活应用。

课时安排

3课时

教学过程

第1课时

作者:路致芳

导入新课

思路1.同学们在预习的过程中能否知道考古学家如何判断生物的发展与进化,又怎样判断它们所处的年代?(考古学家是通过对生物化石的研究来判断生物的发展与进化的,第二个问题我们不太清楚)考古学家是按照这样一条规律推测生物所处的年代的。教师板书本节课题:指数函数——指数与指数幂的运算。

思路2.同学们,我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根…n次方根呢?答案是肯定的,这就是我们本堂课研究的课题:指数函数——指数与指数幂的运算。

推进新课

新知探究

提出问题

(1)什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢?

(2)如x4=a,x5=a,x6=a,根据上面的结论我们又能得到什么呢?

(3)根据上面的结论我们能得到一般性的结论吗?

(4)可否用一个式子表达呢?

活动:教师提示,引导学生回忆初中的时候已经学过的平方根、立方根是如何定义的,对照类比平方根、立方根的定义解释上面的式子,对问题(2)的结论进行引申、推广,相互交流讨论后回答,教师及时启发学生,具体问题一般化,归纳类比出n次方根的概念,评价学生的思维。

讨论结果:(1)若x2=a,则x叫做a的平方根,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如:4的平方根为±2,负数没有平方根,同理,若x3=a,则x叫做a的立方根,一个数的立方根只有一个,如:-8的立方根为-2.

(2)类比平方根、立方根的定义,一个数的四次方等于a,则这个数叫a的四次方根。一个数的五次方等于a,则这个数叫a的五次方根。一个数的六次方等于a,则这个数叫a的六次方根。

(3)类比(2)得到一个数的n次方等于a,则这个数叫a的n次方根。

(4)用一个式子表达是,若xn=a,则x叫a的n次方根。

教师板书n次方根的意义:

一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根(n th root),其中n>1且n∈正整数集。

可以看出数的平方根、立方根的概念是n次方根的概念的特例。

提出问题

(1)你能根据n次方根的意义求出下列数的n次方根吗?(多媒体显示以下题目)。

①4的平方根;②±8的立方根;③16的4次方根;④32的5次方根;⑤-32的5次方根;⑥0的7次方根;⑦a6的立方根。

(2)平方根,立方根,4次方根,5次方根,7次方根,分别对应的方根的指数是什么数,有什么特点?4,±8,16,-32,32,0,a6分别对应什么性质的数,有什么特点?

(3)问题(2)中,既然方根有奇次的也有偶次的,数a有正有负,还有零,结论有一个的,也有两个的,你能否总结一般规律呢?

(4)任何一个数a的偶次方根是否存在呢?

活动:教师提示学生切实紧扣n次方根的概念,求一个数a的n次方根,就是求出的那个数的n次方等于a,及时点拨学生,从数的分类考虑,可以把具体的数写出来,观察数的特点,对问题(2)中的结论,类比推广引申,考虑要全面,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路。

讨论结果:(1)因为±2的平方等于4,±2的立方等于±8,±2的4次方等于16,2的5次方等于32,-2的5次方等于-32,0的7次方等于0,a2的立方等于a6,所以4的平方根,±8的立方根,16的4次方根,32的5次方根,-32的5次方根,0的7次方根,a6的立方根分别是±2,±2,±2,2,-2,0,a2.

(2)方根的指数是2,3,4,5,7…特点是有奇数和偶数。总的来看,这些数包括正数,负数和零。

(3)一个数a的奇次方根只有一个,一个正数a的偶次方根有两个,是互为相反数。0的任何次方根都是0.

(4)任何一个数a的偶次方根不一定存在,如负数的偶次方根就不存在,因为没有一个数的偶次方是一个负数。

类比前面的平方根、立方根,结合刚才的讨论,归纳出一般情形,得到n次方根的性质:

①当n为偶数时,正数a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用na表示,如果是负数,负的n次方根用-na表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。

②n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号na表示。

③负数没有偶次方根;0的任何次方根都是零。

上面的文字语言可用下面的式子表示:

a为正数:n为奇数,a的n次方根有一个为na,n为偶数,a的n次方根有两个为±na.

a为负数:n为奇数,a的n次方根只有一个为na,n为偶数,a的n次方根不存在。

零的n次方根为零,记为n0=0.

可以看出数的平方根、立方根的性质是n次方根的性质的特例。

思考

根据n次方根的性质能否举例说明上述几种情况?

活动:教师提示学生对方根的性质要分类掌握,即正数的奇偶次方根,负数的奇次方根,零的任何次方根,这样才不重不漏,同时巡视学生,随机给出一个数,我们写出它的平方根,立方根,四次方根等,看是否有意义,注意观察方根的形式,及时纠正学生在举例过程中的问题。

解:答案不,比如,64的立方根是4,16的四次方根为±2,-27的5次方根为5-27,而-27的4次方根不存在等。其中5-27也表示方根,它类似于na的形式,现在我们给式子na一个名称——根式。

根式的概念:

式子na叫做根式,其中a叫做被开方数,n叫做根指数。

如3-27中,3叫根指数,-27叫被开方数。

思考

nan表示an的n次方根,式子nan=a一定成立吗?如果不一定成立,那么nan等于什么?

活动:教师让学生注意讨论n为奇偶数和a的符号,充分让学生多举实例,分组讨论。教师点拨,注意归纳整理。

〔如3(-3)3=3-27=-3,4(-8)4=|-8|=8〕。

解答:根据n次方根的意义,可得:(na)n=a.

通过探究得到:n为奇数,nan=a.

n为偶数,nan=|a|=a,-a,a≥0,a

因此我们得到n次方根的运算性质:

①(na)n=a.先开方,再乘方(同次),结果为被开方数。

②n为奇数,nan=a.先奇次乘方,再开方(同次),结果为被开方数。

n为偶数,nan=|a|=a,-a,a≥0,a

应用示例

思路1

例求下列各式的值:

(1)3(-8)3;(2)(-10)2;(3)4(3-π)4;(4)(a-b)2(a>b)。

活动:求某些式子的值,首先考虑的应是什么,明确题目的要求是什么,都用到哪些知识,关键是啥,搞清这些之后,再针对每一个题目仔细分析。观察学生的解题情况,让学生展示结果,抓住学生在解题过程中出现的问题并对症下药。求下列各式的值实际上是求数的方根,可按方根的运算性质来解,首先要搞清楚运算顺序,目的是把被开方数的符号定准,然后看根指数是奇数还是偶数,如果是奇数,无需考虑符号,如果是偶数,开方的结果必须是非负数。

解:(1)3(-8)3=-8;

(2)(-10)2=10;

(3)4(3-π)4=π-3;

(4)(a-b)2=a-b(a>b)。

点评:不注意n的奇偶性对式子nan的值的影响,是导致问题出现的一个重要原因,要在理解的基础上,记准,记熟,会用,活用。

变式训练

求出下列各式的值:

(1)7(-2)7;

(2)3(3a-3)3(a≤1);

(3)4(3a-3)4.

解:(1)7(-2)7=-2,

(2)3(3a-3)3(a≤1)=3a-3,

(3)4(3a-3)4=

点评:本题易错的是第(3)题,往往忽视a与1大小的讨论,造成错解。

思路2

例1下列各式中正确的是()

A.4a4=a

B.6(-2)2=3-2

C.a0=1

D.10(2-1)5=2-1

活动:教师提示,这是一道选择题,本题考查n次方根的运算性质,应首先考虑根据方根的意义和运算性质来解,既要考虑被开方数,又要考虑根指数,严格按求方根的步骤,体会方根运算的实质,学生先思考哪些地方容易出错,再回答。

解析:(1)4a4=a,考查n次方根的运算性质,当n为偶数时,应先写nan=|a|,故A项错。

(2)6(-2)2=3-2,本质上与上题相同,是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,结论为6(-2)2=32,故B项错。

(3)a0=1是有条件的,即a≠0,故C项也错。

(4)D项是一个正数的偶次方根,根据运算顺序也应如此,故D项正确。所以答案选D.

答案:D

点评:本题由于考查n次方根的运算性质与运算顺序,有时极易选错,选四个答案的情况都会有,因此解题时千万要细心。

例2 3+22+3-22=__________.

活动:让同学们积极思考,交流讨论,本题乍一看内容与本节无关,但仔细一想,我们学习的内容是方根,这里是带有双重根号的式子,去掉一层根号,根据方根的运算求出结果是解题的关键,因此将根号下面的式子化成一个完全平方式就更为关键了,从何处入手?需利用和的平方公式与差的平方公式化为完全平方式。正确分析题意是关键,教师提示,引导学生解题的思路。

解析:因为3+22=1+22+(2)2=(1+2)2=2+1,

3-22=(2)2-22+1=(2-1)2=2-1,

所以3+22+3-22=22.

答案:22

点评:不难看出3-22与3+22形式上有些特点,即是对称根式,是A±2B形式的式子,我们总能找到办法把其化成一个完全平方式。

思考

上面的例2还有别的解法吗?

活动:教师引导,去根号常常利用完全平方公式,有时平方差公式也可,同学们观察两个式子的特点,具有对称性,再考虑并交流讨论,一个是“+”,一个是“-”,去掉一层根号后,相加正好抵消。同时借助平方差,又可去掉根号,因此把两个式子的和看成一个整体,两边平方即可,探讨得另一种解法。

另解:利用整体思想,x=3+22+3-22,

两边平方,得x2=3+22+3-22+2(3+22)(3-22)=6+232-(22)2=6+2=8,所以x=22.

点评:对双重二次根式,特别是A±2B形式的式子,我们总能找到办法将根号下面的式子化成一个完全平方式,问题迎刃而解,另外对A+2B±A-2B的式子,我们可以把它们看成一个整体利用完全平方公式和平方差公式去解。

变式训练

若a2-2a+1=a-1,求a的取值范围。

解:因为a2-2a+1=a-1,而a2-2a+1=(a-1)2=|a-1|=a-1,

即a-1≥0,

所以a≥1.

点评:利用方根的运算性质转化为去绝对值符号,是解题的关键。

知能训练

(教师用多媒体显示在屏幕上)

1、以下说法正确的是()

A.正数的n次方根是一个正数

B.负数的n次方根是一个负数

C.0的n次方根是零

D.a的n次方根用na表示(以上n>1且n∈正整数集)

答案:C

2、化简下列各式:

(1)664;(2)4(-3)2;(3)4x8;(4)6x6y3;(5)(x-y)2.

答案:(1)2;(2)3;(3)x2;(4)|x|y;(5)|x-y|。

3、计算7+40+7-40=__________.

解析:7+40+7-40

=(5)2+25?2+(2)2+(5)2-25?2+(2)2

=(5+2)2+(5-2)2

=5+2+5-2

=25.

答案:25

拓展提升

问题:nan=a与(na)n=a(n>1,n∈N)哪一个是恒等式,为什么?请举例说明。

活动:组织学生结合前面的例题及其解答,进行分析讨论,解决这一问题要紧扣n次方根的定义。

通过归纳,得出问题结果,对a是正数和零,n为偶数时,n为奇数时讨论一下。再对a是负数,n为偶数时,n为奇数时讨论一下,就可得到相应的结论。

解:(1)(na)n=a(n>1,n∈N)。

如果xn=a(n>1,且n∈N)有意义,则无论n是奇数或偶数,x=na一定是它的一个n次方根,所以(na)n=a恒成立。

例如:(43)4=3,(3-5)3=-5.

(2)nan=a,|a|,当n为奇数,当n为偶数。

当n为奇数时,a∈R,nan=a恒成立。

例如:525=2,5(-2)5=-2.

当n为偶数时,a∈R,an≥0,nan表示正的n次方根或0,所以如果a≥0,那么nan=a.例如434=3,40=0;如果a

即(na)n=a(n>1,n∈N)是恒等式,nan=a(n>1,n∈N)是有条件的。

点评:实质上是对n次方根的概念、性质以及运算性质的深刻理解。

课堂小结

学生仔细交流讨论后,在笔记上写出本节课的学习收获,教师用多媒体显示在屏幕上。

1、如果xn=a,那么x叫a的n次方根,其中n>1且n∈正整数集。用式子na表示,式子na叫根式,其中a叫被开方数,n叫根指数。

(1)当n为偶数时,a的n次方根有两个,是互为相反数,正的n次方根用na表示,如果是负数,负的n次方根用-na表示,正的n次方根与负的n次方根合并写成±na(a>0)。

(2)n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,这时a的n次方根用符号na表示。

(3)负数没有偶次方根。0的任何次方根都是零。

2、掌握两个公式:n为奇数时,(na)n=a,n为偶数时,nan=|a|=a,-a,a≥0,a

作业

课本习题2.1A组1.

补充作业:

1、化简下列各式:

(1)681;(2)15-32;(3)6a2b4.

解:(1)681=634=332=39;

(2)15-32=-1525=-32;

(3)6a2b4=6(|a|?b2)2=3|a|?b2.

2、若5

解析:因为5

答案:2a-13

3.5+26+5-26=__________.

解析:对双重二次根式,我们觉得难以下笔,我们考虑只有在开方的前提下才可能解出,由此提示我们想办法去掉一层根式,

不难看出5+26=(3+2)2=3+2.

同理5-26=(3-2)2=3-2.

所以5+26+5-26=23.

答案:23

设计感想

学生已经学习了数的平方根和立方根,根式的内容是这些内容的推广,本节课由于方根和根式的概念和性质难以理解,在引入根式的概念时,要结合已学内容,列举具体实例,根式na的讲解要分n是奇数和偶数两种情况来进行,每种情况又分a>0,a

第2课时

作者:郝云静

导入新课

思路1.碳14测年法。原来宇宙射线在大气层中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,再为动物吸收,只要植物和动物生存着,它们就会不断地吸收碳14在机体内保持一定的水平。而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并消失。对于任何含碳物质只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代(半衰期:经过一定的时间,变为原来的一半)。引出本节课题:指数与指数幂的运算之分数指数幂。

思路2.同学们,我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质,那么整数指数幂是否可以推广呢?答案是肯定的。这就是本节的主讲内容,教师板书本节课题——指数与指数幂的运算之分数指数幂。

推进新课

新知探究

提出问题

(1)整数指数幂的运算性质是什么?

(2)观察以下式子,并总结出规律:a>0,

①;

②a8=(a4)2=a4=,;

③4a12=4(a3)4=a3=;

④2a10=2(a5)2=a5= 。

(3)利用(2)的规律,你能表示下列式子吗?

,,,(x>0,m,n∈正整数集,且n>1)。

(4)你能用方根的意义来解释(3)的式子吗?

(5)你能推广到一般的情形吗?

活动:学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质,仔细观察,特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系,教师引导学生体会方根的意义,用方根的意义加以解释,指点启发学生类比(2)的规律表示,借鉴(2)(3),我们把具体推广到一般,对写正确的同学及时表扬,其他学生鼓励提示。

讨论结果:(1)整数指数幂的运算性质:an=a?a?a?…?a,a0=1(a≠0);00无意义;

a-n=1an(a≠0);am?an=am+n;(am)n=amn;(an)m=amn;(ab)n=anbn.

(2)①a2是a10的5次方根;②a4是a8的2次方根;③a3是a12的4次方根;④a5是a10的2次方根。实质上①5a10=,②a8=,③4a12=,④2a10=结果的a的指数是2,4,3,5分别写成了105,82,124,105,形式上变了,本质没变。

根据4个式子的最后结果可以总结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式(分数指数幂形式)。

(3)利用(2)的规律,453=,375=,5a7=,nxm= 。

(4)53的四次方根是,75的三次方根是,a7的五次方根是,xm的n次方根是。

结果表明方根的结果和分数指数幂是相通的。

(5)如果a>0,那么am的n次方根可表示为nam=,即=nam(a>0,m,n∈正整数集,n>1)。

综上所述,我们得到正数的正分数指数幂的意义,教师板书:

规定:正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0,m,n∈正整数集,n>1)。

提出问题

(1)负整数指数幂的意义是怎样规定的?

(2)你能得出负分数指数幂的意义吗?

(3)你认为应怎样规定零的分数指数幂的意义?

(4)综合上述,如何规定分数指数幂的意义?

(5)分数指数幂的意义中,为什么规定a>0,去掉这个规定会产生什么样的后果?

(6)既然指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢?

活动:学生回想初中学习的情形,结合自己的学习体会回答,根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义来类比,把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起来,与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质,教师在黑板上板书,学生合作交流,以具体的实例说明a>0的必要性,教师及时作出评价。

讨论结果:(1)负整数指数幂的意义是:a-n=1an(a≠0),n∈N+。

(2)既然负整数指数幂的意义是这样规定的,类比正数的正分数指数幂的意义可得正数的负分数指数幂的意义。

规定:正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0,m,n∈=N+,n>1)。

(3)规定:零的分数指数幂的意义是:零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义。

(4)教师板书分数指数幂的意义。分数指数幂的意义就是:

正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0,m,n∈正整数集,n>1),正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0,m,n∈正整数集,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义。

(5)若没有a>0这个条件会怎样呢?

如=3-1=-1,=6(-1)2=1具有同样意义的两个式子出现了截然不同的结果,这只说明分数指数幂在底数小于零时是无意义的。因此在把根式化成分数指数时,切记要使底数大于零,如无a>0的条件,比如式子3a2=,同时负数开奇次方是有意义的,负数开奇次方时,应把负号移到根式的外边,然后再按规定化成分数指数幂,也就是说,负分数指数幂在有意义的情况下总表示正数,而不是负数,负数只是出现在指数上。

(6)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。

有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:

①ar?as=ar+s(a>0,r,s∈Q),

②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),

③(a?b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)。

我们利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质可以解决一些问题,来看下面的例题。

应用示例

例1求值:(1);(2);(3)12-5;(4) 。

活动:教师引导学生考虑解题的方法,利用幂的运算性质计算出数值或化成最简根式,根据题目要求,把底数写成幂的形式,8写成23,25写成52,12写成2-1,1681写成234,利用有理数幂的运算性质可以解答,完成后,把自己的答案用投影仪展示出来。

解:(1) =22=4;

(2)=5-1=15;

(3)12-5=(2-1)-5=2-1×(-5)=32;

(4)=23-3=278.

点评:本例主要考查幂值运算,要按规定来解。在进行幂值运算时,要首先考虑转化为指数运算,而不是首先转化为熟悉的根式运算,如=382=364=4.

例2用分数指数幂的形式表示下列各式。

a3?a;a2?3a2;a3a(a>0)。

活动:学生观察、思考,根据解题的顺序,把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算,根式化为分数指数幂时,要由里往外依次进行,把握好运算性质和顺序,学生讨论交流自己的解题步骤,教师评价学生的解题情况,鼓励学生注意总结。

解:a3?a=a3? =;

a2?3a2=a2? =;

a3a= 。

点评:利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再由幂的运算性质来运算。对于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式来表示,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数。

例3计算下列各式(式中字母都是正数)。

(1);

(2)。

活动:先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,四则运算的顺序是先算乘方,再算乘除,最后算加减,有括号的先算括号内的,整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后,其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序,再解答,把自己的答案用投影仪展示出来,相互交流,其中要注意到(1)小题是单项式的乘除运算,可以用单项式的乘除法运算顺序进行,要注意符号,第(2)小题是乘方运算,可先按积的乘方计算,再按幂的乘方进行计算,熟悉后可以简化步骤。

解:(1)原式=[2×(-6)÷(-3)] =4ab0=4a;

(2)=m2n-3=m2n3.

点评:分数指数幂不表示相同因式的积,而是根式的另一种写法。有了分数指数幂,就可把根式转化成分数指数幂的形式,用分数指数幂的运算法则进行运算了。

本例主要是指数幂的运算法则的综合考查和应用。

变式训练

求值:(1)33?33?63;

(2)627m3125n64.

解:(1)33?33?63= =32=9;

(2)627m3125n64= =9m225n4=925m2n-4.

例4计算下列各式:

(1)(325-125)÷425;

(2)a2a?3a2(a>0)。

活动:先由学生观察以上两个式子的特征,然后分析,化为同底。利用分数指数幂计算,在第(1)小题中,只含有根式,且不是同次根式,比较难计算,但把根式先化为分数指数幂再计算,这样就简便多了,第(2)小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算,最后写出解答。

解:(1)原式=

= =65-5;

(2)a2a?3a2= =6a5.

知能训练

课本本节练习1,2,3

【补充练习】

教师用实物投影仪把题目投射到屏幕上让学生解答,教师巡视,启发,对做得好的同学给予表扬鼓励。

1、(1)下列运算中,正确的是()

A.a2?a3=a6 B.(-a2)3=(-a3)2

C.(a-1)0=0 D.(-a2)3=-a6

(2)下列各式①4(-4)2n,②4(-4)2n+1,③5a4,④4a5(各式的n∈N,a∈R)中,有意义的是()

A.①② B.①③ C.①②③④ D.①③④

(3)(34a6)2?(43a6)2等于()

A.a B.a2 C.a3 D.a4

(4)把根式-25(a-b)-2改写成分数指数幂的形式为()

A. B.

C. D.

(5)化简的结果是()

A.6a B.-a C.-9a D.9a

2、计算:(1) --17-2+ -3-1+(2-1)0=__________.

(2)设5x=4,5y=2,则52x-y=__________.

3、已知x+y=12,xy=9且x答案:1.(1)D (2)B (3)B (4)A (5)C 2.(1)19 (2)83、解:。因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=144-36=108=4×27.又因为x所以原式= =12-6-63=-33.拓展提升1、化简:。活动:学生观察式子特点,考虑x的指数之间的关系可以得到解题思路,应对原式进行因式分解,根据本题的特点,注意到:x-1= -13=;x+1= +13=;。构建解题思路教师适时启发提示。解:==== 。点拨:解这类题目,要注意运用以下公式,=a-b,=a± +b,=a±b.2、已知,探究下列各式的值的求法。(1)a+a-1;(2)a2+a-2;(3) 。解:(1)将,两边平方,得a+a-1+2=9,即a+a-1=7;(2)将a+a-1=7两边平方,得a2+a-2+2=49,即a2+ a-2=47;(3)由于,所以有=a+a-1+1=8.点拨:对“条件求值”问题,一定要弄清已知与未知的联系,然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值。课堂小结活动:教师,本节课同学们有哪些收获?请把你的学习收获记录在你的笔记本上,同学们之间相互交流。同时教师用投影仪显示本堂课的知识要点:(1)分数指数幂的意义就是:正数的正分数指数幂的意义是=nam(a>0,m,n∈正整数集,n>1),正数的负分数指数幂的意义是= =1nam(a>0,m,n∈正整数集,n>1),零的正分数次幂等于零,零的负分数指数幂没有意义。(2)规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数。(3)有理数指数幂的运算性质:对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质:①ar?as=ar+s(a>0,r,s∈Q),②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q),③(a?b)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)。(4)说明两点:①分数指数幂的意义是一种规定,我们前面所举的例子只表明这种规定的合理性,其中没有推出关系。②整数指数幂的运算性质对任意的有理数指数幂也同样适用。因而分数指数幂与根式可以互化,也可以利用=am来计算。作业课本习题2.1A组2,4.设计感想本节课是分数指数幂的意义的引出及应用,分数指数是指数概念的又一次扩充,要让学生反复理解分数指数幂的意义,教学中可以通过根式与分数指数幂的互化来巩固加深对这一概念的理解,用观察、归纳和类比的方法完成,由于是硬性的规定,没有合理的解释,因此多安排一些练习,强化训练,巩固知识,要辅助以信息技术的手段来完成大容量的课堂教学任务。第3课时作者:郑芳鸣导入新课思路1.同学们,既然我们把指数从正整数推广到整数,又从整数推广到正分数到负分数,这样指数就推广到有理数,那么它是否也和数的推广一样,到底有没有无理数指数幂呢?回顾数的扩充过程,自然数到整数,整数到分数(有理数),有理数到实数。并且知道,在有理数到实数的扩充过程中,增添的数是无理数。对无理数指数幂,也是这样扩充而来。既然如此,我们这节课的主要内容是:教师板书本堂课的课题〔指数与指数幂的运算(3)〕之无理数指数幂。思路2.同学们,在初中我们学习了函数的知识,对函数有了一个初步的了解,到了高中,我们又对函数的概念进行了进一步的学习,有了更深的理解,我们仅仅学了几种简单的函数,如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数、三角函数等,这些远远不能满足我们的需要,随着科学的发展,社会的进步,我们还要学习许多函数,其中就有指数函数,为了学习指数函数的知识,我们必须学习实数指数幂的运算性质,为此,我们必须把指数幂从有理数指数幂扩充到实数指数幂,因此我们本节课学习:指数与指数幂的运算(3)之无理数指数幂,教师板书本节课的课题。推进新课新知探究提出问题(1)我们知道2=1.414 213 56…,那么1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…,是2的什么近似值?而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,是2的什么近似值?(2)多媒体显示以下图表:同学们从上面的两个表中,能发现什么样的规律?2的过剩近似值的近似值1.5 11.180 339 891.42 9.829 635 3281.415 9.750 851 8081.414 3 9.739 872 621.414 22 9.738 618 6431.414 214 9.738 524 6021.414 213 6 9.738 518 3321.414 213 57 9.738 517 8621.414 213 563 9.738 517 752… …的近似值2的不足近似值9.518 269 694 1.49.672 669 973 1.419.735 171 039 1.4149.738 305 174 1.414 29.738 461 907 1.414 219.738 508 928 1.414 2139.738 516 765 1.414 213 59.738 517 705 1.414 213 569.738 517 736 1.414 213 562… …(3)你能给上述思想起个名字吗?(4)一个正数的无理数次幂到底是一个什么性质的数呢?如,根据你学过的知识,能作出判断并合理地解释吗?(5)借助上面的结论你能说出一般性的结论吗?活动:教师引导,学生回忆,教师提问,学生回答,积极交流,及时评价学生,学生有困惑时加以解释,可用多媒体显示辅助内容:问题(1)从近似值的分类来考虑,一方面从大于2的方向,另一方面从小于2的方向。问题(2)对图表的观察一方面从上往下看,再一方面从左向右看,注意其关联。问题(3)上述方法实际上是无限接近,最后是逼近。问题(4)对问题给予大胆猜测,从数轴的观点加以解释。问题(5)在(3)(4)的基础上,推广到一般的情形,即由特殊到一般。讨论结果:(1)1.41,1.414,1.414 2,1.414 21,…这些数都小于2,称2的不足近似值,而1.42,1.415,1.414 3,1.414 22,…,这些数都大于2,称2的过剩近似值。(2)第一个表:从大于2的方向逼近2时,就从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22,…,即大于的方向逼近。第二个表:从小于2的方向逼近2时,就从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于的方向逼近。从另一角度来看这个问题,在数轴上近似地表示这些点,数轴上的数字表明一方面从51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,即小于的方向接近,而另一方面从51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22,…,即大于的方向接近,可以说从两个方向无限地接近,即逼近,所以是一串有理数指数幂51.4,51.41,51.414,51.414 2,51.414 21,…,和另一串有理数指数幂51.5,51.42,51.415,51.414 3,51.414 22,…,按上述变化规律变化的结果,事实上表示这些数的点从两个方向向表示的点靠近,但这个点一定在数轴上,由此我们可得到的结论是一定是一个实数,即51.4充分表明是一个实数。(3)逼近思想,事实上里面含有极限的思想,这是以后要学的知识。(4)根据(2)(3)我们可以推断是一个实数,猜测一个正数的无理数次幂是一个实数。(5)无理数指数幂的意义:一般地,无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数。也就是说无理数可以作为指数,并且它的结果是一个实数,这样指数概念又一次得到推广,在数的扩充过程中,我们知道有理数和无理数统称为实数。我们规定了无理数指数幂的意义,知道它是一个确定的实数,结合前面的有理数指数幂,那么,指数幂就从有理数指数幂扩充到实数指数幂。提出问题(1)为什么在规定无理数指数幂的意义时,必须规定底数是正数?(2)无理数指数幂的运算法则是怎样的?是否与有理数指数幂的运算法则相通呢?(3)你能给出实数指数幂的运算法则吗?活动:教师组织学生互助合作,交流探讨,引导他们用反例说明问题,注意类比,归纳。对问题(1)回顾我们学习分数指数幂的意义时对底数的规定,举例说明。对问题(2)结合有理数指数幂的运算法则,既然无理数指数幂aα(a>0,α是无理数)是一个确定的实数,那么无理数指数幂的运算法则应当与有理数指数幂的运算法则类似,并且相通。对问题(3)有了有理数指数幂的运算法则和无理数指数幂的运算法则,实数的运算法则自然就得到了。讨论结果:(1)底数大于零的必要性,若a=-1,那么aα是+1还是-1就无法确定了,这样就造成混乱,规定了底数是正数后,无理数指数幂aα是一个确定的实数,就不会再造成混乱。(2)因为无理数指数幂是一个确定的实数,所以能进行指数的运算,也能进行幂的运算,有理数指数幂的运算性质,同样也适用于无理数指数幂。类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理数指数幂的运算法则:①ar?as=ar+s(a>0,r,s都是无理数)。②(ar)s=ars(a>0,r,s都是无理数)。③(a?b)r=arbr(a>0,b>0,r是无理数)。(3)指数幂扩充到实数后,指数幂的运算性质也就推广到了实数指数幂。实数指数幂的运算性质:对任意的实数r,s,均有下面的运算性质:①ar?as=ar+s(a>0,r,s∈R)。②(ar)s=ars(a>0,r,s∈R)。③(a?b)r=arbr(a>0,b>0,r∈R)。应用示例例1利用函数计算器计算。(精确到0.001)(1)0.32.1;(2)3.14-3;(3);(4) 。活动:教师教会学生利用函数计算器计算,熟悉计算器的各键的功能,正确输入各类数,算出数值,对于(1),可先按底数0.3,再按xy键,再按幂指数2.1,最后按=,即可求得它的值;对于(2),先按底数3.14,再按xy键,再按负号-键,再按3,最后按=即可;对于(3),先按底数3.1,再按xy键,再按3÷4,最后按=即可;对于(4),这种无理指数幂,可先按底数3,其次按xy键,再按键,再按3,最后按=键。有时也可按2ndf或shift键,使用键上面的功能去运算。学生可以相互交流,挖掘计算器的用途。解:(1)0.32.1≈0.080;(2)3.14-3≈0.032;(3) ≈2.336;(4) ≈6.705.点评:熟练掌握用计算器计算幂的值的方法与步骤,感受现代技术的威力,逐步把自己融入现代信息社会;用四舍五入法求近似值,若保留小数点后n位,只需看第(n+1)位能否进位即可。例2求值或化简。(1)a-4b23ab2(a>0,b>0);(2)(a>0,b>0);(3)5-26+7-43-6-42.活动:学生观察,思考,所谓化简,即若能化为常数则化为常数,若不能化为常数则应使所化式子达到最简,对既有分数指数幂又有根式的式子,应该把根式统一化为分数指数幂的形式,便于运算,教师有针对性地提示引导,对(1)由里向外把根式化成分数指数幂,要紧扣分数指数幂的意义和运算性质,对(2)既有分数指数幂又有根式,应当统一起来,化为分数指数幂,对(3)有多重根号的式子,应先去根号,这里是二次根式,被开方数应凑完全平方,这样,把5,7,6拆成(3)2+(2)2,22+(3)2,22+(2)2,并对学生作及时的评价,注意总结解题的方法和规律。解:(1)a-4b23ab2= =3b46a11 。点评:根式的运算常常化成幂的运算进行,计算结果如没有特殊要求,就用根式的形式来表示。高中数学集合的教案及反思 篇8以前上课时,我经常只顾自己的想法,觉得讲的题目越多越好,很少顾及学生的思维与感受。解题过程也是能省就省,但是慢慢地,发现学生上课听得懂,自己做却不会,甚至有些学生渐渐的对数学的学习失去了信心。基于对以上问题的分析和认识,经过实践,我得到以下几点教学感悟:1.关注学生的“预习”,淡化课堂笔记。对于现在讲的复习课,尤其是集合,命题极其条件,逻辑连接词等应该让学生提前预习,给学生一个自主学习的机会。至于淡化课堂笔记,是源于一种现象——我发现笔记记得好的`学生,他们的成绩不一定好。为什么会出现这样的情况呢?因为只知道记笔记的学生,当老师让他们思考下一道题的时候,他们往往还在做前面一道题的记录。这样的学习,怎能谈得上思维的发展呢?2.反思教学势在必行教学中能否取得满意的教学效果,关键在于教师的教学观念和教学方式。从我的亲身感受来说,这不是一蹴而就的事情。需要教师有极大的责任心和耐心,不断加强理论知识的学习,更重要的是加强教学反思,即教师以自己的教学活动为思考对象,对自己在教学中所做出的行为以及由此所产生的结果进行审视和分析的过程。3.学生也要反思如果说老师去反思是为了更好的教,那么学生去反思是为了更好的学,并且还是我们整个教学过程的重中之重。那么,高中学生到底怎样进行反思?教学中我始终带着这个问题,思索自己的每一节课的教学设计,学生的学习方法、习惯如何养成?怎样进行反思才能取得理想的学习效果。我的指导教师对于学生的分析给了我很大的帮助。高中数学集合的教案及反思 篇9

一、课程性质与任务数学是研究空间形式和数量关系的科学,是科学和技术的基础,是人类文化的重要组成部分。数学课程是中等职业学校学生必修的一门公共基础课。本课程的任务是:使学生掌握必要的数学基础知识,具备必需的相关技能与能力,为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。二、课程教学目标1.在九年义务教育基础上,使学生进一步学习并掌握职业岗位和生活中所必要的数学基础知识。2.培养学生的计算技能、计算工具使用技能和数据处理技能,培养学生的观察能力、空间想象能力、分析与解决问题能力和数学思维能力。3.引导学生逐步养成良好的学习习惯、实践意识、创新意识和实事求是的科学态度,提高学生就业能力与创业能力。三、教学内容结构本课程的教学内容由基础模块、职业模块和拓展模块三个部分构成。1.基础模块是各专业学生必修的基础性内容和应达到的基本要求,教学时数为128学时。2.职业模块是适应学生学习相关专业需要的限定选修内容,各学校根据实际情况进行选择和安排教学,教学时数为32~64学时。3.拓展模块是满足学生个性发展和继续学习需要的任意选修内容,教学时数不做统一规定。四、教学内容与要求(一)本大纲教学要求用语的表述1.认知要求(分为三个层次)了解:初步知道知识的含义及其简单应用。理解:懂得知识的概念和规律(定义、定理、法则等)以及与其他相关知识的联系。掌握:能够应用知识的概念、定义、定理、法则去解决一些问题。2.技能与能力培养要求(分为三项技能与四项能力)计算技能:根据法则、公式,或按照一定的操作步骤,正确地进行运算求解。计算工具使用技能:正确使用科学型计算器及常用的数学工具软件。数据处理技能:按要求对数据(数据表格)进行处理并提取有关信息。观察能力:根据数据趋势,数量关系或图形、图示,描述其规律。空间想象能力:依据文字、语言描述,或较简单的几何体及其组合,想象相应的空间图形;能够在基本图形中找出基本元素及其位置关系,或根据条件画出图形。分析与解决问题能力:能对工作和生活中的简单数学相关问题,作出分析并运用适当的数学方法予以解决。数学思维能力:依据所学的数学知识,运用类比、归纳、综合等方法,对数学及其应用问题能进行有条理的思考、判断、推理和求解;针对不同的问题(或需求),会选择合适的模型(模式)。(二)教学内容与要求1.基础模块(128学时)第1单元集合(10学时)第2单元不等式(8学时)第3单元函数(12学时)第4单元指数函数与对数函数(12学时)第5单元三角函数(18学时)第6单元数列(10学时)第7单元平面向量(矢量)(10学时)第8单元直线和圆的方程(18学时)第9单元立体几何(14学时)第10单元概率与统计初步(16学时)2.职业模块第1单元三角计算及其应用(16学时)第2单元坐标变换与参数方程(12学时)第3单元复数及其应用(10学时)高中数学集合的教案及反思 篇10《惊蛰》是一篇知识性的小短文,以童话的形式向我们讲述了惊蛰这一节气的到来,使小金蛇、青蛙、蜈蚣、刺猬这些冬眠小动物的走出洞穴。通过在这些冬眠小动物的变化过程中,我们可以体会到春天的到来,以及春天的美好,从而体会到春天给小动物们带来的欢快心情。在顺利完成各项备学交流提升教学任务后,为了让学生们能够更好的理解本文小动物对于春天到来的欢快心情。在本课中我将表演带进了课堂,通过组织学生表演课本剧的方法,充分调动学生学习课文的积极性,发挥的学生的想像力和创造力,在分角色表演各各环节中,理解文小动物对于春天的向住,效果不错。高中数学集合的教案及反思 篇11紧张有序的高二教学工作已经结束了,经受了磨砺和考验的我,在各个方面都得到了很大的提高,尤其是学科知识的理解和业务水平方面更有了进步。这一年来我认真钻研数学中的每一个知识点,精心设计每一节课,虚心向教学经验丰富的教师请教,同时积极主动的学习老教师的实际教学方法,与此同时,我努力做好教学的各个环节,做好学生的课后辅导工作,注意学生的心理素质的提高。尽管我在教学中小心谨慎,但还是留下了一些遗憾。经过一番深思,我个人觉得高二数学教学,应该理顺知识网络。因为高考命题是以课本知识为载体,全面考查能力,所以,促进学生对基本知识、基本概念和基本方法的巩固掌握相当关键。我从中得到的教学反思如下:一、重基础知识、基本方法和基本思想通过一年来的高二的数学教学,以及对高考试题研究分析发现,数学考查的多是中等题型,占据总分的百分之八十之多,所以我认为,对于大多数的学生作好这部分题是至关重要的。二、指导好学生对教材的合理利用数学考试考查点“万变不离教材”,许多的试题就来源于教材的例题和习题,提高学生对教材的重视的同时,关键做好学生的学习指导工作,对于教材的改造和加工至关重要,先整体把握全教材的章节,再细化具体的内容,用联想的方式,对于详略的处理交代清楚,使学生在自己的头脑中构建知识体系,理解解题思想和知识方法的本质联系,提高实际运用能力非常重要。三、理解知识网络,构建认识体系各知识模块之间不是孤立的,我们要引导学生发现知识之间的衔接点,有的在概念外延上相连,有的'在应用上相通等,把已有知识连成一个完整的体系,在解决问题时便会左右逢源,如鱼得水。四、高度重视新课程新增内容的复习在新课程试题中,有些题目属于新教材和旧教材的结合部,在高考命题中采用新旧结合的方法。例如函数的单调性问题既可以用导数解决也可以用定义解决。立体几何问题的处理既可以用传统方法也可以用向量方法。只有重视和加强新增内容的复习,才能紧跟教改和高考改革的步伐,提高学生的认知能力和思维能力。在自己作题时有意识的找出最佳方法,尽量不要有较大的思维跳跃,同时结合参考题解加以取舍,也可以把精彩之处或做错的题目做上标记。查漏补缺的过程就是反思的过程。除了把不同的问题弄懂以外,还要学会“举一反三”,及时归纳。

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