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数学必修3教案【篇1】

预习课本P103～105，思考并完成以下问题

(1)怎样定义向量的数量积?向量的数量积与向量数乘相同吗?

(2)向量b在a方向上的投影怎么计算?数量积的几何意义是什么?

(3)向量数量积的性质有哪些?

(4)向量数量积的运算律有哪些?

[新知初探]

1.向量的数量积的定义

(1)两个非零向量的数量积：

已知条件向量a，b是非零向量，它们的夹角为θ

定义a与b的数量积(或内积)是数量|a||b|cosθ

记法a·b=|a||b|cosθ

(2)零向量与任一向量的数量积：

规定：零向量与任一向量的数量积均为0.

[点睛](1)两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定.

(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式.

2.向量的数量积的几何意义

(1)投影的概念：

①向量b在a的方向上的投影为|b|cosθ.

②向量a在b的方向上的投影为|a|cosθ.

(2)数量积的几何意义：

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.

[点睛](1)b在a方向上的投影为|b|cosθ(θ是a与b的夹角)，也可以写成a·b|a|.

(2)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零.

3.向量数量积的性质

设a与b都是非零向量，θ为a与b的夹角.

(1)a⊥b?a·b=0.

(2)当a与b同向时，a·b=|a||b|，

当a与b反向时，a·b=-|a||b|.

(3)a·a=|a|2或|a|=a·a=a2.

(4)cosθ=a·b|a||b|.

(5)|a·b|≤|a||b|.

[点睛]对于性质(1)，可以用来解决有关垂直的问题，即若要证明某两个向量垂直，只需判定它们的数量积为0;若两个非零向量的数量积为0，则它们互相垂直.

4.向量数量积的运算律

(1)a·b=b·a(交换律).

(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律).

(3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).

[点睛](1)向量的数量积不满足消去律：若a，b，c均为非零向量，且a·c=b·c，但得不到a=b.

(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c=a·(b·c)在一般情况下不成立.

[小试身手]

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的数量积仍然是向量.

(2)若a·b=b·c，则一定有a=c.()

(3)若a，b反向，则a·b=-|a||b|.()

(4)若a·b=0，则a⊥b.()

答案：(1)×(2)×(3)√(4)×

2.若|a|=2，|b|=12，a与b的夹角为60°，则a·b=()

A.2B.12

C.1D.14

答案：B

3.已知|a|=10，|b|=12，且(3a)·15b=-36，则a与b的夹角为()

A.60°B.120°

C.135°D.150°

答案：B

4.已知a，b的夹角为θ，|a|=2，|b|=3.

(1)若θ=135°，则a·b=________;

(2)若a∥b，则a·b=________;

(3)若a⊥b，则a·b=________.

答案：(1)-32(2)6或-6(3)0

向量数量积的运算

[典例](1)已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=4，|b|=2，求：①a·b;②(a+b)·

(a-2b).

(2)如图，正三角形ABC的边长为2，=c，=a，=b，求a·b+b·c+c·a.

[解](1)①由已知得a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4.

②(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12.

(2)∵|a|=|b|=|c|=2，且a与b，b与c，c与a的夹角均为120°，

∴a·b+b·c+c·a=2×2×cos120°×3=-3.

向量数量积的求法

(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键.

(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法

运算.

[活学活用]

已知|a|=3，|b|=4，a与b的夹角为120°，求：

(1)a·b;(2)a2-b2;

(3)(2a-b)·(a+3b).

解：(1)a·b=|a||b|cos120°=3×4×-12=-6.

(2)a2-b2=|a|2-|b|2=32-42=-7.

(3)(2a-b)·(a+3b)=2a2+5a·b-3b2

=2|a|2+5|a||b|·cos120°-3|b|2

=2×32+5×3×4×-12-3×42=-60.

与向量的模有关的问题

[典例](1)(浙江高考)已知e1，e2是平面单位向量，且e1·e2=12.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1，则|b|=________.

(2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=1，|2a-b|=10，则|b|=________.

[解析](1)令e1与e2的夹角为θ，

∴e1·e2=|e1|·|e2|cosθ=cosθ=12.

又0°≤θ≤180°，∴θ=60°.

∵b·(e1-e2)=0，

∴b与e1，e2的夹角均为30°，

∴b·e1=|b||e1|cos30°=1，

从而|b|=1cos30°=233.

(2)∵a，b的夹角为45°，|a|=1，

∴a·b=|a||b|cos45°=22|b|，

|2a-b|2=4-4×22|b|+|b|2=10，∴|b|=32.

[答案](1)233(2)32

求向量的模的常见思路及方法

(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a2=|a|2，勿忘记开方.

(2)a·a=a2=|a|2或|a|=a2，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.

[活学活用]

已知向量a，b满足|a|=|b|=5，且a与b的夹角为60°，求|a+b|，|a-b|，|2a+b|.

解：∵|a+b|2=(a+b)2=(a+b)(a+b)

=|a|2+|b|2+2a·b=25+25+2|a||b|cos60°

=50+2×5×5×12=75，

∴|a+b|=53.

∵|a-b|2=(a-b)2=(a-b)(a-b)

=|a|2+|b|2-2a·b

=|a|2+|b|2-2|a||b|cos60°=25，

∴|a-b|=5.

∵|2a+b|2=(2a+b)(2a+b)

=4|a|2+|b|2+4a·b

=4|a|2+|b|2+4|a||b|cos60°=175，

∴|2a+b|=57.

两个向量的夹角和垂直

题点一：求两向量的夹角

1.(重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|=4|a|，且a⊥(2a+b)，则a与b的夹角为()

A.π3B.π2

C.2π3D.5π6

解析：选C∵a⊥(2a+b)，∴a·(2a+b)=0，

∴2|a|2+a·b=0，

即2|a|2+|a||b|cos〈a，b〉=0.

∵|b|=4|a|，∴2|a|2+4|a|2cos〈a，b〉=0，

∴cos〈a，b〉=-12，∴〈a，b〉=2π3.

题点二：证明两向量垂直

2.已知向量a，b不共线，且|2a+b|=|a+2b|，求证：(a+b)⊥(a-b).

证明：∵|2a+b|=|a+2b|，

∴(2a+b)2=(a+2b)2.

即4a2+4a·b+b2=a2+4a·b+4b2，

∴a2=b2.

∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0.

又a与b不共线，a+b≠0，a-b≠0，

∴(a+b)⊥(a-b).

题点三：利用夹角和垂直求参数

3.已知a⊥b，|a|=2，|b|=3且向量3a+2b与ka-b互相垂直，则k的值为()

A.-32B.32

C.±32D.1

解析：选B∵3a+2b与ka-b互相垂直，

∴(3a+2b)·(ka-b)=0，

∴3ka2+(2k-3)a·b-2b2=0.

∵a⊥b，∴a·b=0，

又|a|=2，|b|=3，

∴12k-18=0，k=32.

求向量a与b夹角的思路

(1)求向量夹角的关键是计算a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算cosθ=a·b|a||b|，最后借助θ∈[0，π]，求出θ的值.

(2)在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系式中，常利用消元思想计算cosθ的值.

层级一学业水平达标

1.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=4，且a·b=2，则a与b的夹角θ为()

A.π6B.π4

C.π3D.π2

解析：选C由题意，知a·b=|a||b|cosθ=4cosθ=2，又0≤θ≤π，所以θ=π3.

2.已知|b|=3，a在b方向上的投影为32，则a·b等于()

A.3B.92

C.2D.12

解析：选B设a与b的夹角为θ.∵|a|cosθ=32，

∴a·b=|a||b|cosθ=3×32=92.

3.已知|a|=|b|=1，a与b的夹角是90°，c=2a+3b，d=ka-4b，c与d垂直，则k的值为()

A.-6B.6

C.3D.-3

解析：选B∵c·d=0，

∴(2a+3b)·(ka-4b)=0，

∴2ka2-8a·b+3ka·b-12b2=0，

∴2k=12，∴k=6.

4.已知a，b满足|a|=4，|b|=3，夹角为60°，则|a+b|=()

A.37B.13

C.37D.13

解析：选C|a+b|=?a+b?2=a2+2a·b+b2

=42+2×4×3cos60°+32=37.

5.在四边形ABCD中，=，且·=0，则四边形ABCD是()

A.矩形B.菱形

C.直角梯形D.等腰梯形

解析：选B∵=，即一组对边平行且相等，·=0，即对角线互相垂直，∴四边形ABCD为菱形.

6.给出以下命题：

①若a≠0，则对任一非零向量b都有a·b≠0;

②若a·b=0，则a与b中至少有一个为0;

③a与b是两个单位向量，则a2=b2.

其中，正确命题的序号是________.

解析：上述三个命题中只有③正确，因为|a|=|b|=1，所以a2=|a|2=1，b2=|b|2=1，故a2=b2.当非零向量a，b垂直时，有a·b=0，显然①②错误.

答案：③

7.设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=________.

解析：(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6e21+7e1·e2-2e22=-6+7×cos60°-2=-92.

答案：-92

8.若|a|=1，|b|=2，c=a+b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________.

解析：∵c⊥a，∴c·a=0，

∴(a+b)·a=0，即a2+a·b=0.

∵|a|=1，|b|=2，∴1+2cos〈a，b〉=0，

∴cos〈a，b〉=-12.

又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉=120°.

答案：120°

9.已知e1与e2是两个夹角为60°的单位向量，a=2e1+e2，b=2e2-3e1，求a与b的

夹角.

解：因为|e1|=|e2|=1，

所以e1·e2=1×1×cos60°=12，

|a|2=(2e1+e2)2=4+1+4e1·e2=7，故|a|=7，

|b|2=(2e2-3e1)2=4+9-12e1·e2=7，故|b|=7，

且a·b=-6e21+2e22+e1·e2=-6+2+12=-72，

所以cos〈a，b〉=a·b|a|·|b|=-727×7=-12，

所以a与b的夹角为120°.

10.已知|a|=2|b|=2，且向量a在向量b方向上的投影为-1.

(1)求a与b的夹角θ;

(2)求(a-2b)·b;

(3)当λ为何值时，向量λa+b与向量a-3b互相垂直?

解：(1)∵|a|=2|b|=2，

∴|a|=2，|b|=1.

又a在b方向上的投影为|a|cosθ=-1，

∴a·b=|a||b|cosθ=-1.

∴cosθ=-12，∴θ=2π3.

(2)(a-2b)·b=a·b-2b2=-1-2=-3.

(3)∵λa+b与a-3b互相垂直，

∴(λa+b)·(a-3b)=λa2-3λa·b+b·a-3b2

=4λ+3λ-1-3=7λ-4=0，∴λ=47.

层级二应试能力达标

1.已知|a|=2，|b|=1，且a与b的夹角为π3，则向量m=a-4b的模为()

A.2B.23

C.6D.12

解析：选B|m|2=|a-4b|2=a2-8a·b+16b2=4-8×2×1×12+16=12，所以|m|=23.

2.在Rt△ABC中，C=90°，AC=4，则·等于()

A.-16B.-8

C.8D.16

解析：选D法一：因为cosA=ACAB，故·=||·||cosA=||2=16，故选D.

法二：在上的投影为||cosA=||，故·=|cosA=||2=16，故选D.

3.已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a在b方向上的投影与b在a方向上的投影相等，则|a-b|=()

A.1B.3

C.5D.3

解析：选C由于投影相等，故有|a|cos〈a，b〉=|b|cos〈a，b〉，因为|a|=1，|b|

=2，所以cos〈a，b〉=0，即a⊥b，则|a-b|=|a|2+|b|2-2a·b=5.

4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为BC的中点，则·=()

A.-3B.0

C.-1D.1

解析：选C·=AB―→+12AD―→·(-)

=12·-||2+12||2

=12×2×2×cos60°-22+12×22=-1.

5.设向量a，b，c满足a+b+c=0，(a-b)⊥c，a⊥b，若|a|=1，则|a|2+|b|2+|c|2的值是________.

解析：法一：由a+b+c=0得c=-a-b.

又(a-b)·c=0，∴(a-b)·(-a-b)=0，即a2=b2.

则c2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=a2+b2=2，

∴|a|2+|b|2+|c|2=4.

法二：如图，作==a，

=b，则=c.

∵a⊥b，∴AB⊥BC，

又∵a-b=-=，

(a-b)⊥c，∴CD⊥CA，

所以△ABC是等腰直角三角形，

∵|a|=1，∴|b|=1，|c|=2，∴|a|2+|b|2+|c|2=4.

答案：4

6.已知向量a，b的夹角为45°，且|a|=4，12a+b·(2a-3b)=12，则|b|=________;b在a方向上的投影等于________.

解析：12a+b·(2a-3b)=a2+12a·b-3b2=12，即3|b|2-2|b|-4=0，解得|b|=2(舍负)，b在a方向上的投影是|b|cos45°=2×22=1.

答案：21

7.已知非零向量a，b，满足|a|=1，(a-b)·(a+b)=12，且a·b=12.

(1)求向量a，b的夹角;(2)求|a-b|.

解：(1)∵(a-b)·(a+b)=12，

∴a2-b2=12，

即|a|2-|b|2=12.

又|a|=1，

∴|b|=22.

∵a·b=12，

∴|a|·|b|cosθ=12，

∴cosθ=22，

∴向量a，b的夹角为45°.

(2)∵|a-b|2=(a-b)2

=|a|2-2|a||b|cosθ+|b|2=12，

∴|a-b|=22.

8.设两个向量e1，e2，满足|e1|=2，|e2|=1，e1与e2的夹角为π3，若向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.

解：由向量2te1+7e2与e1+te2的夹角为钝角，

得?2te1+7e2?·?e1+te2?|2te1+7e2|·|e1+te2|

(2te1+7e2)·(e1+te2)

2t2+15t+7

当夹角为π时，也有(2te1+7e2)·(e1+te2)

但此时夹角不是钝角，

设2te1+7e2=λ(e1+te2)，λ

2t=λ，7=λt，λ

∴所求实数t的取值范围是

-7，-142∪-142，-12.

数学必修3教案【篇2】

教学目标：

1、理解集合的概念和性质。

2、了解元素与集合的表示方法。

3、熟记有关数集。

4、培养学生认识事物的能力。

教学重点：

集合概念、性质

教学难点：

集合概念的理解

教学过程：

1、定义：

集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集)。元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。

由此上述例中集合的元素是什么?

例(1)的元素为1、3、5、7，

例(2)的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点，

例(3)的元素为满足不等式3x—2> x+3的实数x，

例(4)的元素为所有直角三角形，

例(5)为高一·六班全体男同学。

一般用大括号表示集合，{?}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为??

为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

(1)确定性;(2)互异性;(3)无序性。

3、元素与集合的'关系：隶属关系

元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?(?也可表示为)两种。如A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32?A。

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集A记作a?A，相反，a不属于集A记作a?A(或)

注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q??

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q??

2、“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。

4

注：(1)自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。

(2)非负整数集内排除0的集。记作N或N+ 。Q、Z、R等其它数集内排除0

的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z

请回答：已知a+b+c=m，A={x|ax2+bx+c=m}，判断1与A的关系。

数学必修3教案【篇3】

《蜀道难》教案(苏教版高二必修四)

冠县一中

陈以波

教学目标：  （1）通过感知、理解，体会本诗的意境及李白飘逸豪放的艺术风格。（2）掌握一定的诗歌鉴赏技巧

教学重点：

感性地感受本诗艺术风格的同时能够理性地分析鉴赏。

授课时数：一课时

授课方法：诵读法、点拨法

授课过程：

一、导入新课

二、教师范读课文

三、研读课文

1、诗人怎样表现蜀道的雄奇险峻的？

明确:神话传说：五丁开山、六龙回日；

虚写映衬：黄鹤、猿猱；

摹写神情、动作：扪星、抚胸；

借景抒情：古木荒凉、鸟声悲凄；

运用夸张：峰、松、湍、瀑、岩石

典型勾勒：剑阁峥嵘崔嵬

2、诗一开篇极言蜀道难有何作用？

明确:点明主题，为全诗奠定雄放的基调。

3、写蜀道难，为什么要引用传说中的蚕丛、鱼凫的开国和五丁开山？表达了作者什么感情？

明确:蜀君开国是强调古蜀国长期闭塞的状况；五丁开山的传说是说明蜀道的来由；赞扬劳动人民改造自然的勇敢精神。

4、这一段的第三层诗人是怎样描写蜀地之“险”的？

明确:先用“黄鹤飞不过去，”“猿猱攀不上去”来反衬山势的高危惊险。

接着又用想象，人在高危的蜀道上行走，可以用手触摸到星星！

5、诗人给这个“畏途”渲染了怎样的气氛？

明确:句渲染凄凉气氛，“连峰”四句渲染惊险气“但见”四氛。

6、分析最后一段作者所表达的意图。

明确:说明四川是个易守难攻的'地方，如果有野心的叛乱者与朝廷对抗，朝廷的军队很难攻进蜀中平定叛乱者，因而就会造成战乱局面。表明诗人对国家命运的关注。

7、“蜀道难，难于上青天”在诗中三次出现，是不是简单的重复？为什么？

明确：可以形成一个以主旨句贯穿全诗始终、内容层层深入的格局，有一唱三叹之效。三叹者，一叹蜀道之高，二叹蜀道之险，三叹蜀中战祸之烈。

8、分析这首诗的艺术特色 ？

明确：（1）善于把想象、夸张、衬托等和神话传说融为一体，豪放飘逸。

（2）发展了乐府古题，字数参差错落，句子长短不一。

9、课堂小结：

诗人以飘逸豪放的风格为我们勾画了一幅瑰丽雄奇的山水画卷。想象奇特，纵横古今，千百年后读之，依然热血沸腾，余音绕梁。

10、作业：

以“简介李白豪放诗风”为副标题,

作文一篇，不少于800字

陈以波

数学必修3教案【篇4】

1、有感情地朗读课文，理解课文内容；

2、揣摩语言，学习景物描写的方法。

△从本文的题目看，你认为文章主要写了几个方面的内容△找出写百草园、三味书屋两个部分起止句中的过渡段概述一下这篇文章表现了作者怎样的思想感情。

△ 作者在百草园中的生活感受是怎样的？作者对三味书屋的感受是怎样的？二者在内容上是什么关系？有什么作用？

体验与反思：你喜欢怎样的教学内容和教学方式？你认为游戏与学习之间是矛盾的吗？

a、自由讨论。你最喜欢的语段，并说出原因（从写法上分析）b、重点研读。 朗读第二自然段、第七自然段 分析写作技巧

3、拓展延伸a、品味第二、七自然段，自己写一段话。（或写校园一角，或写某个游戏的过程）b、学生评析

教学要点： 1、有感情地朗读课文，理解文章的思路，体会至爱亲情2、研读课文

△ 从全文看，爸爸是一个怎样的人？ “花”在全文结构中起着怎样的作用？文章表达了作者怎样的感情？

a、文中哪些写的是眼前事，哪些是回忆过去的事？回忆的事是怎样引出的？ B、这些对“我”的成长起了怎样的作用？ C、怎样理解文章未尾“我”默念的话的含义？

△ 毕业典礼后“我”回家见到了怎样的情景？这情景预示着什么呢？△“我”是不是真正感觉到自己长大了？从哪些地方看出来的？

教学内容： 1、速读课文，整体感知课文内容，体会字里行间流露的感情。2、体味文章带给我们的深刻启示。

教学设计：

△ 这篇童话讲了一个什么故事？丑小鸭遭受到哪些歧视和打击？丑小鸭是如何面对的？这篇童话给我们什么启示？

集中讨论： a、丑小鸭为什么拼死也要飞向高贵的天鹅？ b、怎样理解“只要你是一只天鹅蛋，生在养鸭场里也没有什么关系”这名话？ c、为什么说丑小鸭的一生是作者自身生活的写照？

教学要点：理解这两首诗，背诵《假如生活欺骗了你》；了解象征手法的作用联系自己的生活体验，谈学习体会，引导学生正确地面对生活。

课前准备： 1， 根据提示，阅读这两首诗。2， 搜集作者的有关资料。

教师组织学生将搜集到的有关资料进行课堂交流，以利于理解诗歌。

1、 反复阅读诗歌。2、独立思考，仔细品味，感悟诗歌的语言。

A“假如生活欺骗了你”指的'是什么？ B诗歌的两部分各表现了怎样的内容？ C这首诗歌表现了诗人怎样的人生态度？

1、 面对逆境，我们就只有耐心等待，不予抗争吗？2、怎样理解“而那过去了的，就会成为亲切的怀恋？

（五） 朗读背诵 （六）体验与反思： 教师要求学生联系自己的生活体验，谈谈学习体会，引导学生树立积极乐观的人生态度。

1、 怎样理解诗歌中所说的“路”？这是怎样一种表现手法？你能从学过的课文中找出类似的例子吗？2、四节诗歌表达了什么意思？3、这首诗到底想告诉我们什么意思？

1、 诗人选择了自己的路，可为什么题目却是“未选择的路”？2、在诗歌表现出的情趣上，《未选择的路》与《假如生活欺骗了你》有什么不同？3、这两首诗歌对人可能产生怎样的影响？

三、 课后作业 ：试着写一篇随笔，评论一下《假如生活欺骗了你》或《未选择的路》。

教学要点： 熟读课文，把握课文主要内容；掌握常用文言词语，翻译课文；学习本文借事说理的方法，理解作者的思想感情。

教师范读，学生在听的过程中注意正音及句子的停顿。 学生自由诵读，进一步感知课文。 学生齐读，注意断句。

疏通文意 学生借助注释和工具书，将文言文翻译成白话文，然后四人小组讨论交流。全班同学讨论交流，解决四人小组不能解决的问题。

问题探究方仲永的变化经历了哪几个阶段？方仲永由天资过人变得“泯然众人”的原因是什么？文章最后一段议论讲了什么道理？学完本文，你有何感想？

教学要点：认识自我，正确对待成长中的烦恼。 了解他人的烦恼，重新审视并评价自我。 学会沟通与理解，能帮人解脱烦恼。

课前准备：1、提前布置预习，了解活动内容。2、学生自由结合，分为三组，选派组长。3、学生可向爸爸妈妈、朋友了解少年时期的烦恼。4、教师准备多媒体课件，美国电视剧《成长

数学必修3教案【篇5】

这种表示方法比较简明，抽象，且能看到三者之间的关系．除此之外，映射的一般表示方法为 ，从这个符号中也能看到映射是由三部分构成的整体，这对后面认识函数是三件事构成的整体是非常有帮助的．

（3）对于学生层次较高的学校可以在给出定义后让学生根据自己的理解举出映射的例子，教师也给出一些映射的例子，让学生从中发现映射的特点，并用自己的语言描述出来，最后教师加以概括，再从中引出一一映射概念；对于学生层次较低的学校，则可以由教师给出一些例子让学生观察，教师引导学生发现映射的特点，一起概括．最后再让学生举例，并逐步增加要求向一一映射靠拢， 引出一一映射概念．

（4）关于求象和原象的问题，应在计算的过程中总结方法，特别是求原象的方法是解方程或方程组，还可以通过方程组解的不同情况（有唯一解，无解或有无数解）加深对映射的认识．

（5）在教学方法上可以采用启发，讨论的形式，让学生在实例中去观察，比较，启发学生寻找共性，共同讨论映射的特点，共同举例，计算，最后进行小结，教师要起到点拨和深化的作用．

教学设计方案2。1 映射教学目标（1）了解映射的概念，象与原象及一一映射的概念．（2）在概念形成过程中，培养学生的观察，分析对比，归纳的能力．（3）通过映射概念的学习，逐步提高学生的探究能力．教学重点难点：：映射概念的形成与认识．教学用具：实物投影仪教学方法：数学教案－映射，标签：高一数学必修3教案，高一数学必修1教案，启发讨论式教学过程（）：一、引入在初中，我们已经初步探讨了函数的定义并研究了几类简单的常见函数．在高中，将利用前面集合有关知识，利用映射的观点给出函数的定义．那么映射是什么呢？这就是我们今天要详细的概念．二、新课在前一章集合的初步知识中，我们学习了元素与集合及集合与集合之间的关系，而映射是重点研究两个集合的元素与元素之间的对应关系．这要先从我们熟悉的对应说起（用投影仪打出一些对应关系，共6个）我们今天要研究的是一类特殊的对应，特殊在什么地方呢？提问1：在这些对应中有哪些是让A中元素就对应B中唯一一个元素？让学生仔细观察后由学生回答，对有争议的，或漏选，多选的可详细说明理由进行讨论．最后得出（1），（2），（5），（6）是符合条件的（用投影仪将这几个集中在一起）提问2：能用自己的语言描述一下这几个对应的共性吗？经过师生共同推敲，将映射的定义引出．（主体内容由学生完成，教师做必要的补充）（板书）一．映射1．定义：一般地，设 两个集合，如果按照某种对应法则 ，对于集合 中的任何一个元素，在集合 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 及 到 的对应法则）叫做集合 到集合 的映射，记作 ．定义给出之后，教师应及时强调映射是特殊的对应，故是三部分构成的一个整体，从映射的符号表示中也可看出这一点，它的特殊之处在于元素与元素之间的对应必须作到“任一对唯一”，同时指出具有对应关系的元素即 中元素 对应 中元素 ，则 叫 的象， 叫 的原象．（板书）2．象与原象可以用前面的例子具体说明谁是谁的象，谁是谁的原象．提问3：下面请同学根据自己对映射的理解举几个映射的例子，看对映射是否真正认识了．（开始时只要是映射即可，之后可逐步提高要求，如集合是无限集，或生活中的例子等）由学生自己评判．之后教师再给出几个（主要是补充学生举例类型的不足）（1） ， ， ， ．（2） ．（3） 除以3的余数．（4） {高一1班同学}， {入学是数学考试成绩}， 对自己的考试成绩．在学生作出判断之后，引导学生发现映射的性质（教师适当提出研究方向由学生说，再由老师概括）（板书）3．对概念的认识（1） 与 是不同的，即 与 上有序的．（2）象的集合是集合B的子集．（3）集合A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合．在刚才研究的基础上，教师再提出（2）和（4）有什么共性，能否把它描述出来，如果学生不能找出共性，教师可再给出几个例子，（用投影仪打出）如：（1）（2） {数轴上的点}， 实数与数轴上相应的点对应．（3） {中国，日本，韩国}， {北京，东京，汉城}， 相应国家的首都．引导学生在元素之间的对应关系和元素个数上找共性，由学生提出两点共性集合A中不同的元素对集合B中不同的元素；②B中所有元素都有原象．那么满足以上条件的映射又是一种特殊的映射，称之为一一映射．（板书）4．一一映射（1）定义：设A，B是两个集合， 是集合A到集合B的映射，如果在这个映射下 对于集合A中的不同元素，在集合B中又不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做A到B上的一一映射．给出定义后，可再返回到刚才的例子，让学生比较它与映射的区别，从而进一步明确“一一”的含义．然后再安排一个例题．例1 下列各表表示集合A（元素a）到集合B（元素b）的一个映射，判断这些映射是不是A到B上的一一映射．其中只有第三个表可以表示一一映射，由此例点明一一映射的特点数学教案－映射，标签：高一数学必修3教案，高一数学必修1教案，（板书）（2）特点：两个集合间元素是一对一的关系，不同的对的也一定是不同的（元素个数相同）；集合B与象集C是相等的集合．对于映射我们现在了解了它的定义及特殊的映射一一映射，除此之外对于映射还要求能求出指定元素的象与原象．（板书）5．求象与原象．例2 （1）从R到 的映射 ，则R中的—1在 中的象是_____； 中的4在R中的原象是_____．（2）在给定的映射 下，则点 在 下的象是_____， 点 在 下的原象是______．（3） 是集合A到集合B的映射， ，则A 中 元素 的象是_____，B中象0的原象是______， B中象—6的原象是______．由学生先回答第（1）小题，之后让学生自己总结一下，应用什么方法求象和原象，学生找到方法后，再在方法的指导下求解另外两题，若出现问题，教师予以点评，最后小结求象用代入法，求原象用解方程或解方程组．注意：所解的方程解的情况可能有多种如有唯一解，也可能无解，可能有无数解，这与映射的定义也是相吻合的．但如果是一一映射，则方程一定有唯一解．三、小结1．映射是特殊的对应2．一一映射是特殊的映射．3．掌握求象与原象的方法．四、作业：略五、板书设计探究活动（1） {整数}， {偶数}， ，试问 与 中的元素个数哪个多？为什么？如果我们建立一个由 到 的映射对应法则 乘以2，那么这个映射是一一映射吗？答案：两个集合中的元素一样多，它们之间可以形成一一映射．（2）设 ， ，问最多可以建立多少种集合 到集合 的不同映射？若将集合 改为 呢？结论是什么？如果将集合 改为 ，结论怎样？若集合 改为 ， 改为 ，结论怎样？从以上问题中，你能归纳出什么结论吗？依此结论，若集合A中含有 个元素，集合B中含有 个元素，那么最多可以建立多少种集合 到集合 的不同映射？答案：若集合A含有m个元素，集合B含有n个元素，则不同的映射 有 个．

数学必修3教案【篇6】

函数性质

一、单调性

1.定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2，当x1x2时，若都有f(x1)f(x2)，那么就说函数在..区间D上单调递增，若都有f(x1)f(x2)，那么就说函数在区间D上单调递减。 例1.证明fxx1在1,上单调递增 x

总结：

1)用定义证明单调性的步骤：取值----作差----变形-----定号-----判断 2)增+增=增

减+减=减

-增=减

1/增=减 3)一次函数ykxb的单调性 例1.判断函数y2.复合函数分析法

设yf(u)，ug(x)x[a,b]，u[m,n]都是单调函数，则yf[g(x)]在[a,b]上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减

1的增减性 x1性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：

ug(x)

yf(u)

yf[g(x)]

增 增 减 减 增 减 增 减 增 减 减 增

例1.判断函数ylog2(x1)在定义域内的单调性

一、 函数单调性的应用 1.比较大小

例1.若f(x)在R上单调递增，且f2a1f(a3)，求a的取值范围

3例2.已知函数f(x)在0,上是减函数，试比较f()与f(a2a1)的大小

42.利用单调性求最值

1例1.求函数yx1的最小值

x

x22xa1例2.已知函数f(x),x1,.当a时，求函数f(x)的最小值

x2

11例3.若函数f(x)的值域为,3，求函数g(x)f(x)的值域

2f(x)

练习：1)求函数yx21x在0,的最大值

112)若函数f(x)的值域为,3，求函数g(x)f(x)的值域

2f(x)

3.求复合函数的单调区间 1)求定义域

2)判断增减区间 3)求交集

12例1.求函数yx2x3的单调区间

2练习：求函数yx22x8的单调增区间

4.求参数取值范围

例1.函数f(x)x22ax3在区间1,2上单调，求a的取值范围

二、 奇偶性

1.判断奇偶性的前提条件：定义域关于原点对称 例1.奇函数f(x)定义域是(t,2t3)，则t

. 2.奇函数的定义：对于函数f(x)，其定义域D关于原点对称，如果xD,恒有f(x)f(x) ，那么函数f(x)为奇函数。

3.奇函数的性质： 1)图像关于原点对称 2)在圆点左右单调性相同

3)若0在定义域内，则必有f(0)0

1奇函数的例子：yx,yx3,yx,ysinx

x4.偶函数的定义：对于函数f(x)，其定义域D关于原点对称，如果xD,恒有f(x)f(x)，那么函数f(x)为偶函数。

5.偶函数的性质： 1)图像关于y轴对称 2)在圆点左右单调性相反

偶函数的例子：yx2,yx,ycosx

6.结论：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇

四、常见题型： 1.函数奇偶性的判定

4x2例1.判断函数f(x)的奇偶性

x22

例2.判断f(x)(x2)

2x的奇偶性 2x2.奇偶性的应用

例1.已知f(x)x5ax3bx8,f(2)10,则f(2)_______

例2.已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)x(x2),求x0时，f(x)的解析式

例3.设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)g(x)

3.函数单调性与奇偶性的综合应用

例1.设偶函数f(x)在[0,)为减函数，则不等式f(x)f(2x1)的解集是 。

例2.已知函数f(x)是定义在实数集R上的函数，若f(x)在区间5,5上是奇函数，在区间0,5上是单调函数，切f(3)f(1)，则( )

A. f(1)f(3) B.f(0)f(1) C.f(1)f(1) D.f(3)f(5)，

例3.函数f(x)axb121,1是定义在上的奇函数，且 f()2251x1，求f(x),g(x) x11)求f(x)的解析式

2)判断函数f(x)在1,1上的单调性 3)解不等式f(t1)f(t)0

数学必修3教案【篇7】

教材分析

本节课重在探究等比数列的前n项和公式的推导及简单的应用。教学中注重公式的形成过程及数学思想方法的渗透，并揭示公式的结构特征和内在联系．就知识的应用价值来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的模型，在公式推导中所蕴含的数学思想方法在各种数列求和问题中有着广泛的应用．就内容的人文价值上看，它的探究与推导需要学生观察、分析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神，是培养学生数学的思考问题的良好载体．

教学目标

知识与技能： 掌握等比数列的前n项和公式以及推导方法；会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．

过程与方法： 经历等比数列前n 项和的推导过程，总结数列求和方法，体会数学中的思想方法．

情感态度与价值观：通过教材中的实际引例，激发学生学习数学的积极性及学习数学的主动性．

教学重点

等比数列的前n项和公式推导及公式的简单应用

教学难点

等比数列的前n项和公式推导过程和思想方法

教学过程

Ⅰ、课题导入

[创设情境]

[提出问题] “国王对国际象棋的发明者的奖励”的故事

Ⅱ、讲授新课

[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。下面我们先来推导等比数列的前n项和公式。

数学必修3教案【篇8】

教学目的：(1)理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集;

(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集;(3)能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

课 型：新授课

教学重点：集合的交集与并集、补集的概念;

教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”;

教学过程：

六、 引入课题

我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢?

思考(P9思考题)，引入并集概念。

七、 新课教学

1. 并集

一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集(Union)

记作：A∪B

Venn图表示： 读作：“A并B” 即：

A∪B={x|x∈A，或x∈B}说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只看成一个元素)。

问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分(即问号部分)还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。

2. 交集

一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集(intersection)。

记作：A∩B

读作：“A交B” 即： A∩B={x|∈A，且x∈B}

交集的Venn图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集

集

3. 补集

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集(Universe)，通常记作U。

A

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary

set),简称为集合A的补集，

记作：CUA

即：CUA={x|x∈U且x∈A}

补集的Venn图表示

说明：补集的概念必须要有全集的限制

4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的

关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5. 集合基本运算的一些结论：

A∩B?A，A∩B?B，A∩A=A，A∩?=?,A∩B=B∩A

A?A∪B，B?A∪B，A∪A=A，A∪?=A,A∪B=B∪A

(CUA)∪A=U，(CUA)∩A=?

若A∩B=A，则A?B，反之也成立

若A∪B=B，则A?B，反之也成立

若x∈(A∩B)，则x∈A且x∈B

若x∈(A∪B)，则x∈A，或x∈B

6. 课堂练习

(1)设A={奇数}、B={偶数}，则A∩Z=A，B∩Z=B，A∩B=?

(2)设A={奇数}、B={偶数}，则A∪Z=Z，B∪Z=Z，A∪B=Z

(3)集合A?{n|nm?1?Z}，B?{m|?Z}，则A?B?__________22

5(4)集合A?{x|?4?x?2}，B?{x|?1?x?3}，C?{x|x?0，或x? 2

那么A?B?C?_______________,A?B?C?_____________;

八、 作业布置：(1) 已知X={x|x2+px+q=0，p2-4q>0},A={1,3,5,7,9},B={1,4,7,10}，且

X?A??,X?B?X，试求p、q;

(2) 集合A={x|x2+px-2=0},B={x|x2-x+q=0},若A?B={-2，0，1}，求p、q;

(3) A={2，3，a2+4a+2}，B={0，7，a2+4a-2，2-a}，且A?B ={3，7}，求B

数学必修3教案【篇9】

唯物主义和唯心主义的基本观点：

唯物主义：物质是本原，先有物质后有意识，物质决定意识。

唯心主义：意识是本原，物质依赖于意识，意识决定物质。

唯物主义的三种基本形态及其合理性、局限性：

唯物主义的三种基本形态即古代朴素唯物主义、近代形而上学唯物主义、辩证唯物主义和历史唯物主义。

理解：①古代朴素唯物主义：合理性——否认世界是神创造的认为世界是物质的，坚持了唯物主义的根本方向，本质上是正确的。局限性——这些观点知识一种可贵的猜测，没有科学依据;它把物质归结为具体的物质形态，着就把复杂问题简单化了。

②近代形而上学唯物主义：合理性——在总结自然科学成就的基础上，丰富和发展了唯物主义。局限性：它把物质归结为自然科学意义上的原子，认为原子是世界的本原，原子的属性就是物质的属性，因而具有机械性、形而上学性和历史观上的威信注意等局限性。

③辩证唯物主义和历史唯物主义：正确地揭示了物质世界的基本规律，反映了社会历史发展的客观要求，反映了最广大人民群众的根本利益。它是现时代的思想智慧，是无产阶级的科学的世界观和方法论，是我们认识世界和改造世界的伟大思想武器。

唯心主义的两种基本形态：主观唯心、客观唯心

数学必修3教案【篇10】

教学目标

1.数列求和的综合应用

教学重难点

2.数列求和的综合应用

教学过程

典例分析

3.数列{an}的前n项和Sn=n2-7n-8,

(1)求{an}的通项公式

(2)求{|an|}的前n项和Tn

4.等差数列{an}的公差为,S100=145，则a1+a3 + a5 + …+a99=

5.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|=

6.数列{an}是等差数列，且a1=2,a1+a2+a3=12

(1)求{an}的通项公式

(2)令bn=anxn ,求数列{bn}前n项和公式

7.四数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项之和为21，中间两项之和为18，求此四个数

8.在等差数列{an}中，a1=20，前n项和为Sn，且S10= S15，求当n为何值时，Sn有最大值，并求出它的最大值

.已知数列{an}，an∈N，Sn= (an+2)2

(1)求证{an}是等差数列

(2)若bn= an-30 ,求数列{bn}前n项的最小值

0.已知f(x)=x2 -2(n+1)x+ n2+5n-7 (n∈N)

(1)设f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an}，求证数列{an}是等差数列

(2设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{dn}，求数列{dn}的前n项和sn.

11 .购买一件售价为5000元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，如此下去，共付款5次后还清，如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算(上月利息要计入下月本金)，那么每期应付款多少?(精确到1元)

12 .某商品在最近100天内的价格f(t)与时间t的

函数关系式是f(t)=

销售量g(t)与时间t的函数关系是

g(t)= -t/3 +109/3 (0≤t≤100)

求这种商品的日销售额的最大值

注：对于分段函数型的应用题，应注意对变量x的取值区间的讨论;求函数的最大值，应分别求出函数在各段中的最大值，通过比较，确定最大值。

高中数学学习方法技巧总结

基础很重要，保持耐心多巩固

要学好数学，最关键的是要有一个好的基础。只有打牢数学基础，才能够把高中数学好，同样只有打好基础，才能够数学取得高分。打好基础是最关键的!比如：建一栋大楼，如果地基不稳，不管大楼有多么豪华，都只是华而不实。

想学好数学，对数学感兴趣

其实学好数学最好的办法就是发自内心由衷的想要学习，渴望学习，才能体会到从学习中所收获的乐趣。自己的成就感提升，对于学习数学的积极性也就提高了，觉得数学并没有那么难，就愿意去多接触了。

多做题反复做，有题感

其实学好数学办法就是要大量做题，反复去做，题做多了就知道哪些方面需要自己去加强学习，还有就是同样做数学题做多了就会有题感。有些题，它的类型都是一样的，题做多了之后，即使你不会做，你也会找到一些解题的思路和技巧。

高中数学学习方法总结

一)、课内重视听讲，课后及时复习。

新知识的接受，数学能力的培养主要在课堂上进行，所以要特点重视课内的学习效率，寻求正确的学习方法。上课时要紧跟老师的思路，积极展开思维预测下面的步骤，比较自己的解题思路与教师所讲有哪些不同。特别要抓住基础知识和基本技能的学习，课后要及时复习不留疑点。首先要在做各种习题之前将老师所讲的知识点回忆一遍，正确掌握各类公式的推理过程，应尽量回忆而不采用不清楚立即翻书之举。认真独立完成作业，勤于思考，从某种意义上讲，应不造成不懂即问的学习作风，对于有些题目由于自己的思路不清，一时难以解出，应让自己冷静下来认真分析题目，尽量自己解决。在每个阶段的学习中要进行整理和归纳总结，把知识的点、线、面结合起来交织成知识网络，纳入自己的知识体系。

二)、适当多做题，养成良好的解题习惯。

要想学好数学，多做题是难免的，熟悉掌握各种题型的解题思路。刚开始要从基础题入手，以课本上的习题为准，反复练习打好基础，再找一些课外的习题，以帮助开拓思路，提高自己的分析、解决能力，掌握一般的解题规律。对于一些易错题，可备有错题集，写出自己的解题思路和正确的解题过程两者一起比较找出自己的错误所在，以便及时更正。在平时要养成良好的解题习惯。让自己的.精力高度集中，使大脑兴奋，思维敏捷，能够进入最佳状态，在考试中能运用自如。实践证明：越到关键时候，你所表现的解题习惯与平时练习无异。如果平时解题时随便、粗心、大意等，往往在大考中充分暴露，故在平时养成良好的解题习惯是非常重要的。

三)、调整心态，正确对待考试。

首先，应把主要精力放在基础知识、基本技能、基本方法这三个方面上，因为每次考试占绝大部分的也是基础性的题目，而对于那些难题及综合性较强的题目作为调剂，认真思考，尽量让自己理出头绪，做完题后要总结归纳。调整好自己的心态，使自己在任何时候镇静，思路有条不紊，克服浮躁的情绪。特别是对自己要有信心，永远鼓励自己，除了自己，谁也不能把我打倒，要有自己不垮，谁也不能打垮我的自豪感。

在考试前要做好准备，练练常规题，把自己的思路展开，切忌考前去在保证正确率的前提下提高解题速度。对于一些容易的基础题要有十二分把握拿全分;对于一些难题，也要尽量拿分，考试中要学会尝试得分，使自己的水平正常甚至超常发挥。

由此可见，要把数学学好就得找到适合自己的学习方法，了解数学学科的特点，使自己进入数学的广阔天地中去。

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